フィボナッチ数列

フィボナッチ数列と黄金比

フィボナッチ数列は「前の2つの数を足すと次の数になる」という規則で生成される数列です。最初の2項を0と1（または1と1）として、0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...と続きます。この数列は13世紀のイタリアの数学者レオナルド・フィボナッチがウサギの繁殖問題として紹介したことで広く知られるようになりました。数式で表すとF(n) = F(n-1) + F(n-2)（ただしF(0)=0, F(1)=1）という漸化式で定義されます。

フィボナッチ数列の最も興味深い性質のひとつは、隣り合う2項の比が黄金比φ（ファイ）≒ 1.6180339887... に収束することです。黄金比は「(1+√5)/2」で定義される無理数で、F(n+1)/F(n)はnが大きくなるにつれてこの値に近づきます。実際、F(10)/F(9) = 89/55 ≒ 1.618 とかなり早い段階で黄金比に近い値を示します。黄金比は古代ギリシャ以来「最も美しい比率」として建築やデザインに用いられてきました。

フィボナッチ数列は自然界にも数多く現れます。ひまわりの種の配列、松ぼっくりの螺旋模様、貝殻の巻き方、花びらの枚数など、多くの生物の構造にフィボナッチ数が見られます。これは植物が成長する際に、新しい葉や種が既存のものと最も効率よく重ならないように配置される結果として、黄金角（約137.5度）が関係しているためと考えられています。

プログラミングの分野では、フィボナッチ数列の計算はアルゴリズムの学習教材としてよく使われます。単純な再帰で計算すると指数的に計算量が増大しますが、メモ化（動的計画法）を使えば線形時間で効率的に計算できます。また、行列のべき乗を利用すればO(log n)で第n項を求めることも可能です。本ツールでは指定した項数までのフィボナッチ数列を一覧表示し、各項の比率から黄金比への収束の様子も視覚的に確認できます。