行列計算機

行列計算の基礎知識

行列（マトリクス）とは、数値を縦横に長方形状に並べたもので、線形代数学の基本的な概念です。 行列は連立方程式の解法、座標変換、データ解析など、数学・工学・情報科学の幅広い分野で活用されています。 行列同士の加算・減算は同じサイズの行列同士で対応する要素ごとに計算し、 乗算はm×n行列とn×p行列の積がm×p行列となるルールに従います。

行列式（デターミナント）は正方行列に対して定義されるスカラー値で、記号 det(A) や |A| で表されます。 行列式が0でない場合、その行列は正則（逆行列が存在する）であることを意味します。 2×2行列の行列式は ad−bc で計算でき、3×3以上ではサラスの方法や余因子展開を用います。 行列式は面積や体積の計算、固有値問題、線形独立性の判定など多くの場面で重要な役割を果たします。

逆行列は A⁻¹ と表記され、元の行列 A と掛けると単位行列 I になる行列です。 逆行列が存在するための条件は行列式が0でないことであり、 2×2行列では公式を用いて直接計算でき、それ以上のサイズでは掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）や 余因子行列を使って求めます。逆行列は連立方程式 Ax=b の解を x=A⁻¹b として求める際に使われます。

転置行列は、元の行列の行と列を入れ替えた行列で、A の転置を Aᵀ と書きます。 転置行列は対称行列の定義（A=Aᵀ）や、直交行列の性質（AᵀA=I）の確認などに使われます。 本ツールでは2×2から4×4までの行列に対応しており、数値を入力するだけで各種演算結果を即座に確認できます。 大学の線形代数の学習や、工学における構造計算の検算にぜひご活用ください。